在鑄錠凝固過程中，增加壓力能夠改善鑄型和鑄錠的接觸環境，為了深入研究壓力強化鑄錠和鑄型間換熱的效果，在能量守恒的基礎上，運用導熱微分方程，建立換熱系數的反算模型，量化壓力對換熱系數的影響規律。該模型包含傳熱正問題模型和傳熱反問題模型。

1.傳熱正問題模型

  凝固過程中的熱量傳輸是凝固進行的驅動力，直接關系著金屬液相凝固的整個進程。凝固過程中，熱量通過金屬液相、已凝固的金屬固相、鑄錠－鑄型界面（氣隙等）和鑄型的熱阻向環境傳輸。因存在凝固潛熱的釋放，凝固是一個有熱源的非穩態傳熱過程，基于凝固過程熱傳導的能量守恒原理，柱坐標下鑄錠和鑄型的導熱分方程可表示為:

  鋼液釋放凝固潛熱，進而在體積單元內產生內熱源q;在運用數值離散的方法求解導熱微分方程時，凝固潛熱的處理方法通常有四種，分別為等效比熱法、熱焓法、溫度回升法以及源項處理法。孫天亮對四種凝固潛熱的處理法進行比較發現，源項處理法最為精確，其次是等效比熱法，誤差較大的是溫度回升法和熱焓法；在一般情況下，為了簡化計算和降低編程難度，可采用等效比熱法處理凝固潛熱。因此，在非穩態條件下，內熱源與凝固潛熱的關系可表示為:

  此外，由于鑄錠的凝固收縮和鑄型的受熱膨脹，鑄錠和鑄型接觸隨之發生變化，當鑄錠和鑄型間氣隙形成以后，鑄錠向鑄型的傳熱方式不只是簡單的傳導傳熱，同時存在小區域的對流和輻射傳熱，進而加大了計算的復雜性，為了降低計算的復雜性和難度，采用等效界面換熱系數hi來替代氣隙形成后鑄錠和鑄型間復雜的傳導、對流和輻射傳熱過程，在不考慮間隙比熱容的情況下，等效界面換熱系數h;計算方法如下：

2. 傳熱反問題模型

  與正問題相對應的反問題，即在求解傳熱問題時，以溫度場為已知量，對邊界條件或初始條件進行計算的過程。傳熱反問題的研究從20世紀60年代以來得到了空前的進步與應用。在鑄造過程中，鑄錠和鑄型間邊界條件的反問題也一直備受關注。通傳熱正問題模型可知，在鑄錠和鑄型物性參數、初始條件以及除鑄錠和鑄型間邊界條件以外，其他邊界條件可知的情況下。溫度場可表示成隨鑄錠和鑄型間界面換熱系數變化的函數，即

  利用傳熱反問題模型，運用數值離散的方法求解界面換熱系數的過程，相當于依照一定的方法或者規律選定界面換熱系數，并以此作為已知邊界條件，利用傳熱正問題計算出相應的溫度場，如果溫度場的計算值與測量值之間的偏差最小，那么選定的界面換熱系數最接近真實值。為了度量溫度場計算值與測量值之間的偏差，利用最小二乘法構建以下函數關系

  因此，在給定界面換熱系數初始值的情況下，利用式（2-151)可對界面換熱系數h進行迭代求解，每次迭代均利用傳熱正問題模型對熱電偶測量點的溫度T(h)進行計算；當迭代結果滿足精度要求時，即可獲得接近界面換熱系數真實值的h.對于一維導熱過程，界面換熱系數反算模型求解過程中可用如圖2-77所示的幾何模型，除了鑄錠和鑄型間邊界條件以外，模型中還包含兩個邊界條件，分別為鑄錠心部邊界條件（B1)和外表面邊界條件（B2).

3. 正/反傳熱問題的數值求解方法

  數值離散方法主要包含有限元、有限體積及有限差分法。有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。有限體積法的基本思路是將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上因變量的數值。有限差分法是將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域，以泰勒級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

  以隱式有限差分為例，對通式（2-152)進行數值離散，二階導數采用二階中心差商形式，經整理得：

  為了更好地說明壓力對界面換熱系數的影響，以高氮鋼P2000加壓凝固過程的傳熱現象為例，采用4根雙鉑銠（B型）熱電偶，通過埋設熱電偶測溫實驗測量凝固過程鑄錠和鑄型溫度變化曲線，采用兩個位移傳感器測量凝固過程中鑄型和鑄錠的位移變化情況，獲得凝固過程中鑄錠和鑄型界面氣隙演變規律，測量裝置示意圖和實物圖如圖2-79所示。

  澆注結束后，在0.5MPa、0.85MPa和1.2MPa下的鋼液凝固過程中，鑄錠和鑄型溫度變化曲線的測量結果如圖2-80所示，溫度變化曲線測量的時間區間為澆注結束后的300s以內，且鑄錠和鑄型在不同壓力下的溫度變化趨勢基本一致。以0.5MPa下的溫度變化曲線為例，如圖2-80(a)所示，在初始階段，2nd和4h曲線上溫度均存在陡升和振蕩階段，這主要是在測溫初期，熱電偶與鋼液接觸后的自身預熱，以及澆注引起鋼液的湍流所致［104];隨著鋼液凝固的進行，由于鑄錠不斷向鑄型傳熱，致使鑄錠的溫度（2nd和4h)逐漸減小，而鑄型的溫度（1st和3rd)隨之增加。此外，測溫位置相近的3rd和4th曲線之間存在較大的溫差，這主要是由于鑄錠和鑄型間氣隙形成后產生的巨大熱阻Rair-cap(=1/hi),其中h為鑄錠和鑄型間的換熱系數。

  不同壓力下鑄型溫度的增長速率（15t和3rd)和鑄錠的冷卻速率（2d和4h)如圖2-81所示，當壓力從0.5MPa增加至1.2MPa時，鑄錠內2md和4h熱電偶測溫點冷卻速率的增量分別為0.335K/s和0.605K/s.與此同時，在澆注結束后300s時，鑄錠內2d和4h測溫位置之間的平均溫度梯度從4.0K/mm增加到了8.6K/mm.由導熱的傅里葉定律（Qingor=αGr,α為19Cr14Mn0.9N鑄錠的導熱系數，Qingot為熱通量）可知，隨著壓力的增加，鑄錠內沿度梯度方向上的熱通量增大。此外，根據能量守恒定律（即Q=Qingot,Q為鑄錠和鑄型間的熱通量），鑄錠和鑄型間的熱通量也隨之增加。因此，增加壓力能夠顯著加快鑄錠的冷卻以及強化鑄錠和鑄型間的換熱。

  在0.5MPa、0.85MPa和1.2MPa壓力下的鋼液凝固過程中，鑄錠和鑄型的溫度測量值作為輸入值（圖2-80),運用驗證后的反算模型，對鑄錠和鑄型間界面換熱系數隨時間的變化規律進行反算，反算過程中時間步長Δt取值為0.75s,空間步長Δr取值為1mm,常數β和8分別為10-10和200.換熱系數的反算結果分別為hos、ho85和h2,隨時間的變化規律如圖2-82所示，由于Δt和8乘積為150s,結合Beck非線性估算法本身的特點，只能反算出凝固前期150s內hos、ho.85和h2隨時間的變化規律。此外，因熱電偶本身的預熱以及澆注引起鋼液的湍流，導致2nd和4th熱電偶的在前30s內存在較大的波動，因此反算出的界面換熱系數在前期存在一定的波動，其中h2最大，其次是ho.85,ho5最小。

  擬合后的參數Adj.R-Square分別為0.9558、0.9716和0.9692,說明擬合度高，反算結果和經驗公式相符。通過對比不同壓力下反算出的界面換熱系數可知，隨著壓力的增加，界面換熱系數增大，鑄錠和鑄型間界面換熱條件得到明顯改善，充分說明壓力在19Cr14Mn0.9N含氮鋼的凝固過程中，起到了十分顯著的強化冷卻作用。

  眾所周知，在某一時刻下，界面換熱系數與壓力呈現多項式關系。為了獲得19Cr14Mn0.9N 含氮鋼界面換熱系數與壓力之間的關系，可采用多項式擬合的方式對界面換熱系數與壓力關系進行擬合，擬合關系式為